Đề thy và lời giải Kỳ thy đại học 2009 môn toán

GỢI Ý LÀM BÀI THI ĐẠI HỌC 2009 MÔN TOÁN – KHỐI A

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm):
Câu I (2 điểm)
Cho hàm số  (1).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
Lời giải:
TXĐ: D = R \ {  }
    Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng  và 
 ;    Tiệm cận đứng x = 
      Tiệm cận ngang y = 

Bảng biến thiên:
 

Điểm đặc biệt: x = 0  y =  ; y = 0  x = -2.
Đồ thị:
Nhận xét: Đồ thị nhận giao điểm I( ; ) của hai tiệm cận làm tâm đối xứng.
 

2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O.
Lời giải:
Giải sử tiếp tuyến  cắt Ox tại điểm  cắt Oy  tại B(0; b) với ab 0  hay 
 Do  cân đỉnh O
TH1: Với a= b 
  tiếp xúc với (1) nên hệ      có nghiệm
Từ  (**) 
Vậy có 2 tiếp tuyến 
TH2: Với a = -b 
  tiếp xúc với (1) nên hệ  có nghiệm
Do (***) vô nghiệm nên  hệ vô nghiệm
Kết luận: có 2 tiếp tuyến là 


Câu II (2 điểm)
1. Giải phương trình 
Lời giải:
ĐK: 
Phương trình tương đương
 
Nghiệm (2 ) loại do không thỏa mãn (*)
Vậy phương trình có một nghiệm 

2. Giải phương trình  (x  ).
Lời giải:
Điều kiện: 6 - 5x  0 
Vậy (1) có dạng: 

 
(1)    (thỏa mãn)

Vậy:        thỏa mãn 

Đáp số: x = -2

Câu III (1,0 điểm)
Tính tích phân 
Lời giải:
 

Câu IV (1 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB = AD = 2 , CD =  ; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600. Gọi I là trung điểm cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo  .
Lời giải:
 

Do (SCI) (ABCD) ; (SBI) (ABCD)  SI (ABCD)
Kẻ IK BC SK BC (định lý ba đường vuông góc).
Ta có        (1)
Mà SI = IK.tg(600) =  IK ; BC = BI = a  ; IC = a
BH2 = BC2 – HC2 = 5a2 –  =      BH = 
2
Vậy SI =      (đvtt)

Câu V (1 điểm)
Chứng minh rằng với mọi số thực dương x,y,z thỏa mãn x( x + y + z )= 3xy, ta có:
 
Lời giải:
Đặt a = x +  y , b = z + c , c = x +  y
 
Từ điều kiện x(x + y + z) = 3yz 
Ta có bất đẳng thức đã cho tương đương:
 
Từ (*) 
  (**) đúng đpcm
Dấu “ =” xảy ra khi a= b= c tức là x = y = z.

PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm I(6; 2) là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Điểm M(1; 5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng  :  . Viết phương trình đường thẳng AB
Lời giải:
Vì E  x + y – 5 = 0  E(x0; 5 – x0)
Gọi F là điểm đối xứng của E qua I
 
Ta có  ; 
 
 
Vậy phương trình đường thẳng AB là: y = 5 hoặc x – 4y + 19 = 0.

2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  và mặt cầu . Chứng minh rằng mặt  phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn. Xác định tọa độ tâm và bán kính của đường tròn đó.
Lời giải:
 
Vậy  có tâm I( 1, 2, 3) và R = 5
Kẻ OH  (P) khi đó H là tâm của đường tròn thiết diện.
Ta có: 
Vậy:  4 là bán kính đường tròn thiết diện.
(P) có 
Vậy OH có phương trình 
Thay vào (P) ta có: 2(1 + 2t) – 2(2 - 2t) - (3 - t) - 4 = 0 
Vậy tâm đường tròn có tạo độ là H(3, 0, 2)
Kết luận: Đường tròn thiết diện có tâm H(3, 0, 2) và bán kính  =4

Câu VII.a (1,0 điểm)
Gọi  và  là hai nghiệm thức của phương trình  . Tính giá trị của biểu thức  .
Lời giải:
 

Lời giải:

B. Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2,0 điểm)
1.  Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 + 4x + 4y + 6 = 0 và đường thẳng Δ: x + my  - 2m + 3 = 0, với m là tham số thực. Gọi I là tâm của đường tròn (C). Tìm m để Δ cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất.
Lời giải:
 
Vậy  có tâm tại  và bán kính 
Ta có 
  tại 2 điểm phân biệt
 
Gọi H là trung điểm của AB, ta có:
 
 
 
So sánh 2 vế điều kiện thỏa mãn vậy có 2 nghiệm là 

2.  Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 1 = 0 và hai đường thẳng Δ1:  , Δ2:  . Xác định tọa độ điểm M thuộc đường thẳng Δ1 sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng Δ2 và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) bằng nhau.
Lời giải:
Gọi M(t – 1; t; 6t – 9) 
 
 qua A(1; 3; -1) và có vec-tơ chỉ phương 
Ta có 
Với  = (8t – 14; -14t + 20; t – 4)  Nên 
Do    Nên
 
Vậy có hai điểm M là:  và 

Câu VII.b (1 điểm)
Giải phương trình  .
Lời giải:
Điều kiên xy>0
Hệ đã cho tương đương với
 
Vậy hệ có nghiệm là